Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點D（2，0），E（1，

3

2

）兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C交于不同兩點A，B，點G是線段AB的中點，點O為坐標(biāo)原點，設(shè)射線OG交橢圓C于點Q，且

OQ

=λ

OG

．
①證明：λ²m²=4k²+1；
②求△AOB的面積S（λ）的解析式，并計算S（λ）的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能求出橢圓方程．
（2）①令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達定理、中點坐標(biāo)公式、向量知識，結(jié)合已知條件能證明λ²m²=4k²+1．
②由|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|，得S（λ）=

2|m| λ2m2-m2

λ2m2

=

2 λ2-1

λ2

，λ＞1，由此利用換元法能求出當(dāng)λ=

2

時，S（λ）=

2 λ2-1

λ2

取得最大值1．

解答： （1）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點D（2，0），E（1，

3

2

）兩點，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①證明：令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+4y2=4

，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴

△=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)＞0 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，即

m2＜1+4k2 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

k(-8km)

1+4k2

+2m=

2m

1+4k2

，
又由中點坐標(biāo)公式，得G（

-4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
根據(jù)

OQ

=λ

OG

，得Q（

-4λkm

1+4k2

，

λm

1+4k2

），
將其代入橢圓方程，有

4λ2k2m2

(1+4k2)2

+

λ2m2

(1+4k2)2

=1，
化簡得：λ²m²=4k²+1．
②解：由①得m≠0，λ＞1，
∵|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，
在△AOB中，S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|，
∴S（λ）=

2|m| λ2m2-m2

λ2m2

=

2 λ2-1

λ2

，λ＞1，
令

λ2-1

=t，t＞0，
則S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

＜

2

2 1

=1（當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，即λ=

2

時取“=”）
∴當(dāng)λ=

2

時，S（λ）=

2 λ2-1

λ2

取得最大值，其最大值為1．

點評：本題考查橢圓C的方程的求法，考查λ²m²=4k²+1的證明，考查△AOB的面積S（λ）的解析式的求法，考查S（λ）的最大值的計算，解題時要注意根的判別式、韋達定理、中點坐標(biāo)公式、向量知識的合理運用．