Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的正半軸上．
（1）當(dāng)角α的終邊為射線l：y=2

2

x（x≥0）時(shí)，求cos（α+

π

6

）的值；
（2）現(xiàn)將角α的終邊繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，已知終邊的起始位置和終止位置分別與射線y=

3

3

x（x≥0）和y=-x（x≥0）重合，試求

3

2

sin2α+cos²α-

3

2

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）求出角α的正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)值，即可求cos（α+

π

6

）的值；
（2）現(xiàn)將角α的終邊繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，求出角的范圍，利用二倍角的余弦函數(shù)以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡

3

2

sin2α+cos²α-

3

2

我2一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，通過角的范圍求出相位的范圍，利用三角函數(shù)的值域求解表達(dá)式的取值范圍．

解答： 解：（1）在射線l上取點(diǎn)A（1，2

2

），則OA=

12+(2 2 )2

=3，
由三角函數(shù)的定義可得sinα=

2 2

3

，cosα=

1

3

，…（3分）
∴cos（α+

π

6

）=cosαcos

π

6

-sinαsin

π

6

=

1

3

×

3

2

-

2 2

3

×

1

2

=

3 -2 2

6

．…（6分）
（2）∵角α的終邊起始位置和終止位置分別與射線y=

3

3

x，x≥0和y=-x，x≥0重合
∴

π

6

≤α≤

3π

4

∵

3

2

sin2α+

3

cos2α-

3

2

=

3

2

sin2α+

3

2

cos2α=

3

sin（2α+

π

6

）     …（9分）
∵

π

6

≤α≤

3π

4

∴

π

2

≤2α+

π

6

≤

5π

3

．
∴-1≤sin（2α+

π

6

）≤1．∴-

3

≤

3

sin（2α+

π

6

）≤

3

．
即

3

2

sin2α+cos²α-

3

2

的取值范圍：[-

3

，

3

]．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．