【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若，求在區(qū)間上的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

由題意得；

（Ⅰ）當(dāng)時，求得，，根據(jù)點斜式方程即可求出切線方程；

（Ⅱ）由題意得兩個不等的正根，令，則，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出答案；

（Ⅲ）由題意可得，由二階導(dǎo)的取值符號可得到的單調(diào)性，得到，由此可求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而求出最值．

解：∵，

∴；

（Ⅰ）當(dāng)時，，，

∴曲線在點處的切線方程為，

即；

（Ⅱ）∵若有兩個極值點，

∴有兩個不等的正根，即兩個不等的正根，

令，，，

令，

當(dāng)時，此時單調(diào)遞增，；

當(dāng)時，此時單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，

因為兩個不等的正根，

∴，得，

∴實數(shù)a的取值范圍是；

（Ⅲ）∵，

∴，，

∵，，令，

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，

故，

∴在上單調(diào)遞減，

故在上的最小值為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某健身機構(gòu)統(tǒng)計了去年該機構(gòu)所有消費者的消費金額（單位：元），如下圖所示：

（1）將去年的消費金額超過 3200 元的消費者稱為“健身達(dá)人”，現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機抽取 2 人，求至少有 1 位消費者，其去年的消費金額超過 4000 元的概率；

（2）針對這些消費者，該健身機構(gòu)今年欲實施入會制，詳情如下表：

會員等級

消費金額

普通會員

2000

銀卡會員

2700

金卡會員

3200

預(yù)計去年消費金額在內(nèi)的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在內(nèi)的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在內(nèi)的消費者都將會申請辦理金卡會員. 消費者在申請辦理會員時，需-次性繳清相應(yīng)等級的消費金額.該健身機構(gòu)在今年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案 1：按分層抽樣從普通會員， 銀卡會員， 金卡會員中總共抽取 25 位“幸運之星”給予獎勵: 普通會員中的“幸運之星”每人獎勵 500 元； 銀卡會員中的“幸運之星”每人獎勵 600 元； 金卡會員中的“幸運之星”每人獎勵 800 元.

方案 2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從-個裝有 3 個白球、 2 個紅球（球只有顏色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-個球.若摸到紅球的總數(shù)消費金額/元為 2，則可獲得 200 元獎勵金； 若摸到紅球的總數(shù)為 3，則可獲得 300 元獎勵金；其他情況不給予獎勵. 規(guī)定每位普通會員均可參加 1 次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加 2 次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加 3 次摸獎游戲（每次摸獎的結(jié)果相互獨立） .

以方案 2 的獎勵金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請你預(yù)測哪-種方案投資較少？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，，是C的左、右焦點，過的直線l與C交于A，B兩點，且的周長為．

（1）求C的方程；

（2）若，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，曲線在點處的切線與直線平行，求的值；

（2）若，且函數(shù)的值域為，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假設(shè)存在兩個物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者.現(xiàn)在我們來研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型.假設(shè)捕食者的數(shù)量以表示，被捕食者的數(shù)量以表示.如圖描述的是這兩個物種隨時間變化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向為時間增加的方向.下列說法正確的是（ ）

A.若在、時刻滿足：，則

B.如果數(shù)量是先上升后下降的，那么的數(shù)量一定也是先上升后下降

C.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會同時到達(dá)最大值或最小值

D.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時，被捕食者的數(shù)量也會達(dá)到最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，邊長為4的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直，，分別為，的中點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是，在自然情況下（沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力），一個感染到某種傳染病的人，會把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡單計算公式是：確認(rèn)病例增長率系列間隔，其中系列間隔是指在一個傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時間（單位：天）.根據(jù)統(tǒng)計，確認(rèn)病例的平均增長率為，兩例連續(xù)病例的間隔時間的平均數(shù)為天，根據(jù)以上RO數(shù)據(jù)計算，若甲得這種傳染病，則輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的最大值．

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