【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅲ）若，求在區(qū)間上的最小值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

由題意得；

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求得，，根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；

（Ⅱ）由題意得兩個(gè)不等的正根，令，則，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出答案；

（Ⅲ）由題意可得，由二階導(dǎo)的取值符號(hào)可得到的單調(diào)性，得到，由此可求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而求出最值．

解：∵，

∴；

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

即；

（Ⅱ）∵若有兩個(gè)極值點(diǎn)，

∴有兩個(gè)不等的正根，即兩個(gè)不等的正根，

令，，，

令，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，；

當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，

因?yàn)?/span>兩個(gè)不等的正根，

∴，得，

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

（Ⅲ）∵，

∴，，

∵，，令，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，

故，

∴在上單調(diào)遞減，

故在上的最小值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某健身機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了去年該機(jī)構(gòu)所有消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單位：元），如下圖所示：

（1）將去年的消費(fèi)金額超過(guò) 3200 元的消費(fèi)者稱為“健身達(dá)人”，現(xiàn)從所有“健身達(dá)人”中隨機(jī)抽取 2 人，求至少有 1 位消費(fèi)者，其去年的消費(fèi)金額超過(guò) 4000 元的概率；

（2）針對(duì)這些消費(fèi)者，該健身機(jī)構(gòu)今年欲實(shí)施入會(huì)制，詳情如下表：

會(huì)員等級(jí)

消費(fèi)金額

普通會(huì)員

2000

銀卡會(huì)員

2700

金卡會(huì)員

3200

預(yù)計(jì)去年消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者今年都將會(huì)申請(qǐng)辦理普通會(huì)員，消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理銀卡會(huì)員，消費(fèi)金額在內(nèi)的消費(fèi)者都將會(huì)申請(qǐng)辦理金卡會(huì)員. 消費(fèi)者在申請(qǐng)辦理會(huì)員時(shí)，需-次性繳清相應(yīng)等級(jí)的消費(fèi)金額.該健身機(jī)構(gòu)在今年底將針對(duì)這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，現(xiàn)有如下兩種預(yù)設(shè)方案：

方案 1：按分層抽樣從普通會(huì)員， 銀卡會(huì)員， 金卡會(huì)員中總共抽取 25 位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì): 普通會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 500 元； 銀卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 600 元； 金卡會(huì)員中的“幸運(yùn)之星”每人獎(jiǎng)勵(lì) 800 元.

方案 2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從-個(gè)裝有 3 個(gè)白球、 2 個(gè)紅球（球只有顏色不同）的箱子中， 有放回地摸三次球，每次只能摸-個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)消費(fèi)金額/元為 2，則可獲得 200 元獎(jiǎng)勵(lì)金； 若摸到紅球的總數(shù)為 3，則可獲得 300 元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì). 規(guī)定每位普通會(huì)員均可參加 1 次摸獎(jiǎng)游戲；每位銀卡會(huì)員均可參加 2 次摸獎(jiǎng)游戲；每位金卡會(huì)員均可參加 3 次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立） .

以方案 2 的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪-種方案投資較少？并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，是C的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為．

（1）求C的方程；

（2）若，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；

（2）若，且函數(shù)的值域?yàn)?/span>，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】假設(shè)存在兩個(gè)物種，前者有充足的食物和生存空間，而后者僅以前者為食物，則我們稱前者為被捕食者，后者為捕食者.現(xiàn)在我們來(lái)研究捕食者與被捕食者之間理想狀態(tài)下的數(shù)學(xué)模型.假設(shè)捕食者的數(shù)量以表示，被捕食者的數(shù)量以表示.如圖描述的是這兩個(gè)物種隨時(shí)間變化的數(shù)量關(guān)系，其中箭頭方向?yàn)闀r(shí)間增加的方向.下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.若在、時(shí)刻滿足：，則

B.如果數(shù)量是先上升后下降的，那么的數(shù)量一定也是先上升后下降

C.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量不會(huì)同時(shí)到達(dá)最大值或最小值

D.被捕食者數(shù)量與捕食者數(shù)量總和達(dá)到最大值時(shí)，被捕食者的數(shù)量也會(huì)達(dá)到最大值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形所在平面與正三角形所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知衡量病毒傳播能力的最重要指標(biāo)叫做傳播指數(shù)RO.它指的是，在自然情況下（沒(méi)有外力介入，同時(shí)所有人都沒(méi)有免疫力），一個(gè)感染到某種傳染病的人，會(huì)把疾病傳染給多少人的平均數(shù).它的簡(jiǎn)單計(jì)算公式是：確認(rèn)病例增長(zhǎng)率系列間隔，其中系列間隔是指在一個(gè)傳播鏈中，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間（單位：天）.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，確認(rèn)病例的平均增長(zhǎng)率為，兩例連續(xù)病例的間隔時(shí)間的平均數(shù)為天，根據(jù)以上RO數(shù)據(jù)計(jì)算，若甲得這種傳染病，則輪傳播后由甲引起的得病的總?cè)藬?shù)約為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值．

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