Question

5．過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面均為等腰三角形，兩腰都是母線，這些截面以軸截面的面積為最大，對(duì)嗎？

Answer 1

分析 設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，截面與底面的交線為AB，設(shè)AB=x，用x表示出截面的面積S_△SAB，利用不等式得出截面面積的最大值及等號(hào)成立的條件．

解答 解：設(shè)圓錐截面SAB與底面交于A，B兩點(diǎn)，
∵SA=SB，∴△SAB是等腰三角形．
設(shè)圓錐的底面半徑為OA=r，高SO=h，
過(guò)O作OC⊥AB于C，則C為AB的中點(diǎn)．
∴SC⊥AB．
設(shè)AB=x，則AC=$\frac{1}{2}AB=\frac{x}{2}$．
由垂徑定理得OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{r}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}$．
∴SC=$\sqrt{S{O}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}$．
∴S_△SAB=$\frac{1}{2}AB•SC$=$\frac{1}{2}$x$\sqrt{{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}（{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}）}$≤$\sqrt{（\frac{\frac{{x}^{2}}{4}+{h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}}{2}）^{2}}$=$\frac{{h}^{2}+{r}^{2}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{x}^{2}}{4}={h}^{2}+{r}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$，即x=$\sqrt{2{h}^{2}+2{r}^{2}}$時(shí)取等號(hào)．
所以上述命題中，前兩個(gè)命題正確，第三個(gè)命題錯(cuò)誤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．