Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}，sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）設(shè)D為AC的中點，S_△ABC=8$\sqrt{5}$，求中線BD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的數(shù)量積可得，|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，即A=B，根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可．
（Ⅱ）利用面積公式，以及余弦定理求解即可．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}，sinA=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
得（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$）（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$）=|$\overrightarrow{AC}$|²-|$\overrightarrow{BC}$|²=0，
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴A=B，A與B都是銳角，
∴cosA=$\frac{2}{3}$，
∴sinC=sin（π-2A）=sin（2A）=2sinAcosA=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$；
（Ⅱ）由S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{2\sqrt{5}}{9}$a²=8$\sqrt{5}$，
∴a=b=6，
∴CD=3，BC=6，
又cosC=cos（π-2A）=-cos2A=-（1-2sin²A）=$\frac{1}{9}$，
在△BCD中，由余弦定理可得，BD²=CD²-2CD•BCcosC=3²+6²-2×3×6×$\frac{1}{9}$=41，
∴BD=$\sqrt{41}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積以及正弦定理和余弦定理的運用，在判斷三角形形狀時，要注意對角的范圍進行分析，即求角的大小需要兩個條件：該角的一個三角函數(shù)值和該角的范圍，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的數(shù)學(xué)工具