Question

已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，是等比數(shù)列，且，.
（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記，，證明（）.

Answer 1

（1），，  （2），
【考點(diǎn)定位】本小題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí).考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.考查運(yùn)算能力、推理論證能力.該試題命制比較直接，沒(méi)有什么隱含的條件，就是等比與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，但方法多樣，第二問(wèn)可以用錯(cuò)位相減法求解證明，也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，給學(xué)生思維空間留有余地，符合高考命題選拔性的原則

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.
由，得，，.
由條件，得方程組，解得
所以，，.
（2）證明：（方法一）
由（1）得
    ①
  ②
由②-①得



而
故，
（方法二：數(shù)學(xué)歸納法）
① 當(dāng)n=1時(shí)，，，故等式成立.
② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時(shí)，有：






即，因此n=k+1時(shí)等式也成立
由①和②，可知對(duì)任意，成立.