Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為正方形A₁B₁C₁D₁的中心，則異面直線A₁D與OB所成角的余弦值為（　　

• A． $\frac{\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系
不妨設(shè)AB=2，則D（0，0，0），A₁（2，0，2），B（2，2，0），
O（1，1，2），
∴$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{BO}$=（-1，-1，2），
∴$cos＜\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{BO}＞$=$\frac{\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{BO}}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}||\overrightarrow{BO}|}$=$\frac{-2+4}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}\sqrt{（-1）^{2}×2+{2}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴異面直線A₁D與OB所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了通過求向量的夾角求異面直線的夾角、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．