Question

14．[示范高中]設(shè)不等式x²-2ax+a+2≤0的解集為M，集合N=[1，4]，且M⊆N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用判別式法求出不等式x²-2ax+a+2≤0的解集M，根據(jù)M⊆N，求出對應(yīng)a的取值范圍．

解答 解：因?yàn)椴坏仁絰²-2ax+a+2≤0的解集為M，N=[1，4]；
當(dāng)△=4a²-4（a+2）＜0，即-1＜a＜2時(shí)，M=∅，滿足題意；…（2分）
當(dāng)△=0，a=-1，M={-1}不合題意，a=2時(shí)，M={2}滿足題意；…（4分）
當(dāng)△＞0時(shí)，即a＞2或a＜-1時(shí)，令f（x）=x²-2ax+a+2，
要使M⊆[1，4]，只需$\left\{\begin{array}{l}{1＜a＜4}\\{f（1）=3-a≥0}\\{f（4）=18-7a≥0}\end{array}\right.$，
解得2＜a≤$\frac{18}{7}$；9分
綜上，a的取值范圍是-1＜a≤$\frac{18}{7}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查了含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了集合的運(yùn)算問題，是綜合性題目．