求證：1＋＋＋…＋<2－1(n≥2且n∈N*)．

 

答案：
解析：

證明：(1)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，

右邊＝2－1＝＝>

左<右，∴不等式成立．

(2)假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立(k≥2且k∈N)

即：1＋＋＋…＋<2－1

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋＋＋…＋＋<2－1＋

欲證原不等式成立．

只須證：2－1＋<2－12－＋1<2(k＋1)－2<2k＋14k2＋4k<4k2＋4k＋10<1顯然成立．

∴n＝k＋1時(shí)，原不等式成立．

由(1)、(2)對(duì)一切n∈N原不等式都成立．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的正整數(shù)m，n；s，t，若m+n=s+t，則
(1+am)(1+an)
am+an
=
(1+as)(1+at)
as+at
，且a1=3，a2=-
1
3
．
（1）求證：
(1-am)(1-an)
am+an
=
(1-as)(1-at)
as+at
；
（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（3）記cn=a2n-a2n+1（n∈N*），求證：c1+c2+…+cn＜
4
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

有一個(gè)項(xiàng)數(shù)為10的實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}，Sn（n≤10）表示該數(shù)列的前n項(xiàng)和．當(dāng)2≤n≤10時(shí)，若Sk，S10，S7成等差數(shù)列，求證ak-1，a9，a6也成等差數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=-
1
4
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，不等式f（x）≤x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅲ）求證：(1+
2
2×3
)(1+
4
3×5
)(1+
8
5×9
)•…•[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]＜e（其中n∈N*，e是自然對(duì)數(shù)）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，求證：(1+
1
a
)(1+
1
b
)≥9．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞
1
4
，求證：
(1-a)+b
2
＞
1
2
．
（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三數(shù)中至少有一個(gè)小于或等于
1
4
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案