Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F分別是AB，PC的中點，DE⊥PA.

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）證明過程見詳解.

【解析】

（1）設(shè)的中點為，連接,利用三角形中位線定理、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合線面平行的判定定理進行證明即可；

（2）利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)、面面垂直的判定定理進行證明即可.

（1）設(shè)的中點為，連接,因為F是PC的中點，所以有

,又因為四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形, E是AB的中點,所以有

，因此有,所以四邊形是平行四邊形，因此有,平面PAD，平面PAD，所以EF∥平面PAD；

（2）在矩形中，設(shè)交于點，因為E是AB的中點,所以，

因為，所以∽，因此，而

，所以，而DE⊥PA，

平面PAC，所以平面PAC，而平面PDE，因此

平面PAC⊥平面PDE.