【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，點分別為橢圓與坐標軸的交點，且.過軸上定點的直線與橢圓交于，兩點，點為線段的中點.

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題設(shè)知橢圓的離心率和的關(guān)系，結(jié)合，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；

（2）分直線MN的斜率為0和不為0兩種情況討論，設(shè)直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得點Q的坐標，得出點Q到AB的距離，求得面積的表達式，利用基本不等式，即可求解．

（1）由題意，橢圓的離心率為，所以，

其中，，

由，得.

又由，得，，，

所以橢圓的標準方程為.

（2）直線的方程為，

①當直線的斜率時，直線過點交橢圓于左右頂點，則中點為坐標原點，此時，

②當直線的斜率時，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，得，∴點為，

∴點到直線的距離為，

∵點在直線的下方，即，

∴，

∴，

設(shè)，令，則，

當時，，

當時，，

當且僅當，即時等號成立，此時，

當時，，此時，

綜上所述，的最大值為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知實數(shù)a滿足1＜a≤2，設(shè)函數(shù)f (x)＝x3－x2＋ax．

(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；

(Ⅱ) 若函數(shù)g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，

求證：g(x)的極大值小于等于10．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)棱底面，，點為的中點，作，交于點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)的最小值為2，求的值；

（2）當時，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：

① 函數(shù)的最小正周期是；

② 函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；

③ 函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱；

④ 函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像向右平移個單位，再向下平移1個單位得到.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為這個結(jié)論是成立的，下列說法中正確的是（ ）

A.100個吸煙者中至少有99人患有肺癌

B.1個人吸煙，那么這個人有99%的概率患有肺癌

C.在100個吸煙者中一定有患肺癌的人

D.在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知方程表示的曲線為的圖象，對于函數(shù)有如下結(jié)論：①在上單調(diào)遞減；②函數(shù)至少存在一個零點；③的最大值為；④若函數(shù)和圖象關(guān)于原點對稱，則由方程所確定；則正確命題序號為( )

A.①③B.②③C.①④D.②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，AB＝，BC＝1，E，F分別是AB，PC的中點，DE⊥PA.

（1）求證：EF∥平面PAD；

（2）求證：平面PAC⊥平面PDE.

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