Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求方程g（x）=1在x∈[0，π]上的解集．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，由g（x）=1可得x的解集，結(jié)合范圍[0，π]即可得解．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）f（x）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z）．
（2）由已知，g（x）=f（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]+1=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+1，
由g（x）=1，得$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）=0，
∴由2x-$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，可得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{8}$（k∈Z），
∵x∈[0，π]，
∴x=$\frac{π}{8}$或$\frac{5π}{8}$，
∴方程的解集為{$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．