Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）設(shè)PA=1，∠ABC=60°，三棱錐E-ACD的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{8}$，求二面角D-AE-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，推導(dǎo)出O是BD中點(diǎn)，PB∥OE，由此能證明PB∥面AEC．
（Ⅱ）由V_P-ABCD=2V_P-ACD=4V_E-ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出菱形ABCD的邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，取BC中點(diǎn)M，連接AM．以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AM方向?yàn)閤軸，以AD方向?yàn)閥軸，以AP方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-AE-C的余弦值．

解答 （本小題滿分12分）
證明：（Ⅰ）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE，
∵底面ABCD為菱形，∴O是BD中點(diǎn)，
在△PDB中，∵E為PD的中點(diǎn)，∴PB∥OE，
∵OE?平面AEC，PB?平面AEC，
∴PB∥面AEC．
（Ⅱ）V_P-ABCD=2V_P-ACD=4V_E-ACD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，
${V}_{P-ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PA$=$\frac{1}{3}×（2×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}）×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得a=$\sqrt{3}$，取BC中點(diǎn)M，連接AM．
以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AM方向?yàn)閤軸，以AD方向?yàn)閥軸，以AP方向?yàn)閦軸，
建立如圖所示坐標(biāo)系．
則D（0，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），C（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
設(shè)平面AEC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，3），
平面ADE的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
設(shè)二面角D-AE-C的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+3+9}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
∴二面角D-AE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．