Question

5．已知函數(shù)f（x）=|x+4|+|x-2|．
（1）解不等式f（x）＞8；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為a，正實(shí)數(shù)m，n，s滿足m+2n+2s=a，求m²+n²+s²的最小值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論x的范圍，求出不等式的解集即可；（2）求出a的值，得到m+2n+2s=6，根據(jù)不等式的性質(zhì)求出m²+n²+s²的最小值即可．

解答 解：（1）由題意f（（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+2，x≥2}\\{6，-4＜x＜2}\\{-2x-2，x≤-4}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，2x+2＞8，解得：x＞3，
當(dāng)-4＜x＜2時(shí)，無(wú)解，
當(dāng)x≤-4時(shí)，-2x-2＞8，解得：x＜-5，
綜上，{x|x＞3或x＜-5}為所求；
（2）∵f（x）=|x+4|+|x-2|≥|x+4-（x-2）|=6，解得：a=6，
∴m+2n+2s=6，
∴m²+n²+s²=$\frac{1}{9}$（m²+n²+s²）（1+2²+2²）≥$\frac{1}{9}$（m+2n+2n）²=4，
∴m²+n²+s²的最小值是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．