Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，且對(duì)任意整數(shù)n，總有（a_n+1+3）（a_n+3）=4a_n+4成立，則數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知利用遞推思想求出數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，且a₁+a₂+a₃+a₄=-

5

3

，由此能求出數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=5，且對(duì)任意整數(shù)n，總有（a_n+1+3）（a_n+3）=4a_n+4成立，
∴8（a₂+3）=24，解得a₂=0，
3（a₃+3）=4，解得a₃=-

5

3

，

4

3

(a4+3)=-

8

3

，解得a₄=-5，
-2（a₅+3）=-16，解得a₅=5．
∴數(shù)列{a_n}是以4為周期的數(shù)列，且a₁+a₂+a₃+a₄=-

5

3

，
2015=503×4+3，
∴S₂₀₁₅=503×（-

5

3

）+5+0-

5

3

=-835．
故答案為：-835．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列{a_n}的前2015項(xiàng)的和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)列的周期性質(zhì)的合理運(yùn)用．