Question

已知f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（Ⅰ）求f（x）最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最大值及此時x的值的集合；
（Ⅲ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最大值，以及此時x的值即可．
（Ⅲ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=sin2x-cos2x+1=

2

sin（2x-

π

4

）+1，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）由（1）知f（x）的最大值M=

2

+1，
當f（x）=

2

+1時，sin（2x-

π

4

）=1，
∴2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，
即x=kπ+3

π

8

，k∈Z，
則所求自變量x的集合為{x|x=kπ+3

π

8

，k∈Z}．
（Ⅲ）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈Z．
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]，k∈Z．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的最值的求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．