Question

4．已知下列各式：①f（|x|+1）=x²+1； ②$f（\frac{1}{{{x^2}+1}}）=x$；③f（x²-2x）=|x|； ④f（|x|）=3^x+3^-x．其中存在函數(shù)f（x）對(duì)任意的x∈R都成立的是（　�。�

• A． ①④
• B． ③④
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 由t=|x|+1（t≥1），可得f（t）=（t-1）²+1，即可判斷①；
由令t=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（0＜t≤1），x=±$\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，結(jié)合函數(shù)的定義，即可判斷②；
令t=x²-2x，若t＜-1時(shí)，x∈∅；t≥-1，可得x=1±$\sqrt{1+t}$（t≥-1），y=f（t）不能構(gòu)成函數(shù)，即可判斷③；
討論x≥0，x＜0，可得函數(shù)式，即可判斷④．

解答 解：①f（|x|+1）=x²+1，由t=|x|+1（t≥1），可得|x|=t-1，則f（t）=（t-1）²+1，
即有f（x）=（x-1）²+1對(duì)x∈R均成立；
②$f（\frac{1}{{{x^2}+1}}）=x$，令t=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（0＜t≤1），x=±$\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，
對(duì)0＜t≤1，y=f（t）不能構(gòu)成函數(shù)，故不成立；
③f（x²-2x）=|x|，令t=x²-2x，若t＜-1時(shí)，x∈∅；
t≥-1，可得x=1±$\sqrt{1+t}$（t≥-1），y=f（t）不能構(gòu)成函數(shù)；
④f（|x|）=3^x+3^-x．當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=3^x+3^-x；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（-x）=3^x+3^-x；將x換為-x可得f（x）=3^x+3^-x；故恒成立．
綜上可得①④符合條件．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，注意運(yùn)用代換法和函數(shù)的定義，考查推理和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．