Question

5．若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$的最小值是$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由分式的運(yùn)算性質(zhì)分析可得$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$-9，又由2x+y=2，則有2（x+1）+（y+1）=5，進(jìn)而分析可得$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=（$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$）$\frac{（2x+2）+（y+1）}{5}$-9=$\frac{1}{5}$（16+9+$\frac{18（x+1）}{y+1}$+$\frac{8（y+1）}{x+1}$）-9，由基本不等式的性質(zhì)計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若2x+y=2，
則$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=$\frac{（2-y）^{2}}{y+1}$+$\frac{（2-2x）^{2}}{2（x+1）}$=$\frac{[（y+1）-3]^{2}}{y+1}$+2$\frac{[（x+1）-2]^{2}}{x+1}$=（y+1）+$\frac{9}{y+1}$+2（x+1）+$\frac{16}{2（x+1）}$-14=$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$-9；
又由2x+y=2，則有2（x+1）+（y+1）=5，
則$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$=（$\frac{9}{y+1}$+$\frac{16}{2（x+1）}$）$\frac{（2x+2）+（y+1）}{5}$-9=$\frac{1}{5}$（16+9+$\frac{18（x+1）}{y+1}$+$\frac{8（y+1）}{x+1}$）-9≥$\frac{1}{5}$（25+2$\sqrt{\frac{18（x+1）}{y+1}×\frac{8（y+1）}{x+1}}$）-9≥$\frac{4}{5}$；
當(dāng)且僅當(dāng)y+1=2（x+1）=$\frac{5}{2}$時(shí)，等號(hào)成立；
即$\frac{4{x}^{2}}{y+1}$+$\frac{{y}^{2}}{2x+2}$的最小值是$\frac{4}{5}$；
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的性質(zhì)及應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)，配湊基本不等式的條件．