已知函數(shù)f(x)=
1
1+x2
．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）求函數(shù)f(x)=
1
1+x2
在[-3，2]上的最大值與最小值．
（1）證明：設(shè)x1＜x2≤0，則f(
x1
)-f(x2)=
(x2+x1)(x2-x1)
(1+
x21
)(1+
x22
)

因x1＜x2＜0，有x1+x2＜0，x2-x1＞0，又（1+x12）（1+x22）＞0
所以
(x2+x1)(x2-x1)
(1+
x21
)(1+
x22
)
＜0，得f（x1）-f（x2）＜0
故f（x）為（-∞，0]上的增函數(shù)．
（2）因為函數(shù)f（x）定義域為R，且f（-x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
又f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)，
所以f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)
所以函數(shù)的最大值為f（0）=1．
又當x=-3時，f(-3)=
1
10
，當x=2時，f(2)=
1
5
，
故函數(shù)的最小值為f(-3)=
1
10
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

定義在R上的減函數(shù)f（x）滿足f(
1
x
)＞f(1)，則x的取值范圍是（　�。�
A．（-∞，0）∪（0，1）B．（-∞，0）∪（1，+∞）C．（-∞，1）D．（1，+∞）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列函數(shù)中，在（1，+∞）上為減函數(shù)的是（　　）
A．y=（x-2）2B．y=(
3
)x		C．y=-
1
x
D．y=-x3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=
1
1-x(1-x)
（x∈[1，2]）的最大值是（　�。�
A．
4
5
B．1C．
3
4
D．
4
3

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

定義運算a?b=
a，(a≤b)
b，(a＞b)
，已知函數(shù)f（x）=（3-x）?2x，則f（x）的最大值為 ______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

判斷函數(shù)f(x)=-
2
x
+1在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f（1+x）=f（1-x），當1＜x1＜x2時，[f（x2）-f（x1）]（x2-x1）＞0恒成立，設(shè)a=f（-
1
2
），b=f（2），c=f（3），則a，b，c的大小關(guān)系為（　�。�
A．b＜a＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．a(chǎn)＜b＜c

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，有一塊矩形草地，要在這塊草地上開辟一個內(nèi)接四邊形建體育設(shè)施（圖中陰影部分），使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，設(shè)AE=x，陰影部分面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）當x為何值時，陰影部分面積最大？最大值是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)y=x+
4
x-1
(x＞1)的最小值是（　�。�
A．4B．5C．6D．7

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