Question

（10分）（2004•北京）已知點A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線y2=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）

（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標(biāo)；

（2）求線段BC中點M的坐標(biāo)

（3）求BC所在直線的方程．

 

Answer 1

（1）拋物線方程為y2=32x，焦點F的坐標(biāo)為（8，0）

（2）（11，﹣4）

（3）4x+y﹣40=0．

【解析】

試題分析：（1）由點A（2，8）在拋物線y2=2px上，將A點坐標(biāo)代入，易求出參數(shù)p的值，代入即得拋物線的方程和焦點F的坐標(biāo)；

（2）又由，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合，由重心坐標(biāo)公式，易得線段BC中點M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)出過BC中點M的直線方程，根據(jù)聯(lián)立方程、設(shè)而不求、余弦定理易構(gòu)造關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，進而可以得到直線的方程．

【解析】
（1）由點A（2，8）在拋物線y2=2px上，有82=2p•2解得p=16

所以拋物線方程為y2=32x，焦點F的坐標(biāo)為（8，0）

（2）如圖，由F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中點，AM是BC上的中線，由重心的性質(zhì)可得；

設(shè)點M的坐標(biāo)為（x0，y0），則解得x0=11，y0=﹣4所以點M的坐標(biāo)為（11，﹣4）

（3）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸．

設(shè)BC所成直線的方程為y+4=k（x﹣11）（k≠0）

由消x得ky2﹣32y﹣32（11k+4）=0

所以由（2）的結(jié)論得解得k=﹣4

因此BC所在直線的方程為y+4=﹣4（x﹣11）即4x+y﹣40=0．