Question

8．設${（{2x+\frac{1}{2}}）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$．
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a_n；
（2）記a_n（0≤n≤10）的最大值．

Answer 1

分析 （1）在所給的等式中，令n=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n的值．
（2）由題意可得a_n為xⁿ的系數(shù)，利用通項公式可得a_n=${C}_{10}^{n}$•2^10-2n，檢驗可得a_n的最大值．

解答 解：（1）在設${（{2x+\frac{1}{2}}）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_n=${（\frac{5}{2}）^{10}}$．
（2）∵由題意可得a_n為xⁿ的系數(shù)，∴a_n=${C}_{10}^{n}$•2^10-n•${（\frac{1}{2}）}^{n}$=${C}_{10}^{n}$•2^10-2n，
再根據(jù)0≤n≤10，檢驗可得，當n=2時，a_n=${C}_{10}^{n}$•2^10-2n 取得最大值為a₂=2880．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．