Question

13．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向上平移1個(gè)單位，再將所得圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，由五點(diǎn)法作圖求出ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，
可得A=2，f（0）=2sinφ=1，即sinφ=$\frac{1}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$，
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得ω•$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$=π，求得ω=2，故函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）將函數(shù)y=f（x）圖象向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象；
再將所得圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，可得到y(tǒng)=g（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+1的圖象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故函數(shù)的增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$]，k∈Z，
再根據(jù)x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，$\frac{π}{12}$]、[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ的值，由五點(diǎn)法作圖求出ω．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．