Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，O為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓過原點O，求O到直線l的距離．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用離心率e=

1

2

，右焦點到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，代入橢圓方程，利用韋達定理，結(jié)合直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓過原點O，即可求出O到直線l的距離．

解答： 解：（Ⅰ）∵e=

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，右焦點（c，0）到直線

x

a

+

y

b

=1的距離d=

21

7

，
則

|bc-ab|

a2+b2

=

21

7

，且b²+c²=1，∴a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
那么：

3x2+4y2-12=0 y=kx+m

，
則（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

又∵直線l與橢圓C交于A，B兩點，以AB為直徑的圓過原點O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+（kx₁-m）（kx₂-m）=0，
∴(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0

(k2+1)(4m2-12)

4k2+3

+

-8k2m2

4k2+3

+m2=0，
化簡得

m2

k2+1

=

12

7

，即

|m|

k2+1

=

2 21

7

∴O到直線l的距離為

2 21

7

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)及應用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，綜合性強，屬于中檔題．