Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow$=（-3，4）．
（1）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的夾角；
（2）若$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$）∥$\overrightarrow$，求$\overrightarrow{c}$的坐標．

Answer 1

分析 （1）求得$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的坐標，利用兩個向量的數(shù)量積公式、兩個向量的數(shù)量積的定義，求得cosθ的值，可得$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角θ的值．
（2）根據(jù)兩個向量垂直、平行的性質，求得$\overrightarrow{c}$的坐標．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（-3，4）$，∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（-2，6）$，∴$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（4，-2）$，
∴$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）=-20$，∴$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{（-2{）^2}+{6^2}}=2\sqrt{10}$，∴$|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{{4^2}+{{（-2）}^2}}=2\sqrt{5}$．
設$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為θ，則$cosθ=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-\overrightarrow b）}{{|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|．|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|}}=\frac{-20}{{2\sqrt{10}×2\sqrt{5}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
又∵θ∈[0，π]，∴$θ=\frac{3π}{4}$．
（II）設$\overrightarrow c=（x，y）$，則$\overrightarrow c+\overrightarrow a=（x+1，y+2）$，∵$\overrightarrow{c}$⊥（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$），（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$）∥$\overrightarrow$，∴$\left\{\begin{array}{l}-2x+6y=0\\-3（y+2）-4（x+1）=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$，即$\overrightarrow c=（-2，-\frac{2}{3}）$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，兩個向量垂直、平行的性質，屬于基礎題．