Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（2）=0}\\{f（2）=8}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3（4-a）=0}\\{8-6a+b=8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=24}\end{array}\right.$；
（2）∵f′（x）=3（x²-a），（a≠0），
當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增，
此時函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)．
當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0，解得：x=±$\sqrt{a}$，
當(dāng)x∈（-∞，-$\sqrt{a}$）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[$\sqrt{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴此時x=-$\sqrt{a}$是f（x）的極大值點(diǎn)，x=$\sqrt{a}$是f（x）的極小值點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．