Question

9．在${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{4}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項的系數成等差數列．
（Ⅰ）求展開式中含有x的項的系數；     
（Ⅱ）求展開式中的有理項．

Answer 1

分析 （I）根據前三項系數成等差數列計算n，再根據通項得出答案；
（II）根據通項判斷x的次數為整數時對應的r，得出對應的項．

解答 解：（I）${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{4}{x}}}）^n}$的展開式的通項T_r+1=${C}_{n}^{r}$（$\sqrt{x}$）^n-r•$\frac{1}{{2}^{r}}$•（$\frac{1}{\root{4}{x}}$）^r=$\frac{1}{{2}^{r}}$${C}_{n}^{r}$•x${\;}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
∴展開式的前三項系數分別為1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
∴1+$\frac{n（n-1）}{8}$=n，解得n=1（舍）或n=8．
令$\frac{2n-3r}{4}$=1得r=4．
∴展開式中含有x的項的系數為$\frac{1}{{2}^{4}}$•${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
（II）T_r+1=$\frac{1}{{2}^{r}}$${C}_{8}^{r}$x${\;}^{\frac{16-3r}{4}}$，
∴當r=0時，$\frac{16-3r}{4}$=4，T₁=${C}_{8}^{0}$x⁴=x⁴．
當r=4時，$\frac{16-3r}{4}$=1，T₅=$\frac{1}{{2}^{5}}$${C}_{8}^{5}$x=$\frac{14}{13}$x．
當r=8時，$\frac{16-3r}{4}$=-2，T₉=$\frac{1}{{2}^{8}}$${C}_{8}^{8}$x^-2=$\frac{1}{256{x}^{2}}$．
∴展開式中的有理項為x⁴，$\frac{14}{13}$x；$\frac{1}{256{x}^{2}}$．

點評 本題考查了二項式定理，屬于中檔題．