Question

9．在${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{4}{x}}}）^n}$的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求展開式中含有x的項(xiàng)的系數(shù)；     
（Ⅱ）求展開式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列計(jì)算n，再根據(jù)通項(xiàng)得出答案；
（II）根據(jù)通項(xiàng)判斷x的次數(shù)為整數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的r，得出對(duì)應(yīng)的項(xiàng)．

解答 解：（I）${（\sqrt{x}+\frac{1}{{2•\root{4}{x}}}）^n}$的展開式的通項(xiàng)T_r+1=${C}_{n}^{r}$（$\sqrt{x}$）^n-r•$\frac{1}{{2}^{r}}$•（$\frac{1}{\root{4}{x}}$）^r=$\frac{1}{{2}^{r}}$${C}_{n}^{r}$•x${\;}^{\frac{2n-3r}{4}}$，
∴展開式的前三項(xiàng)系數(shù)分別為1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$，
∴1+$\frac{n（n-1）}{8}$=n，解得n=1（舍）或n=8．
令$\frac{2n-3r}{4}$=1得r=4．
∴展開式中含有x的項(xiàng)的系數(shù)為$\frac{1}{{2}^{4}}$•${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{8}$．
（II）T_r+1=$\frac{1}{{2}^{r}}$${C}_{8}^{r}$x${\;}^{\frac{16-3r}{4}}$，
∴當(dāng)r=0時(shí)，$\frac{16-3r}{4}$=4，T₁=${C}_{8}^{0}$x⁴=x⁴．
當(dāng)r=4時(shí)，$\frac{16-3r}{4}$=1，T₅=$\frac{1}{{2}^{5}}$${C}_{8}^{5}$x=$\frac{14}{13}$x．
當(dāng)r=8時(shí)，$\frac{16-3r}{4}$=-2，T₉=$\frac{1}{{2}^{8}}$${C}_{8}^{8}$x^-2=$\frac{1}{256{x}^{2}}$．
∴展開式中的有理項(xiàng)為x⁴，$\frac{14}{13}$x；$\frac{1}{256{x}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理，屬于中檔題．