Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且S_n=na_n-（n²-n）
（1）求{a_n}通項公式．
（2）若數(shù)列{a_n}滿足b_n+1-b_n=2a_n+3，且b₁=3，{

1

bn

}的前n項和T_n，試證明T_n＜

3

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后可得{a_n}為以a₁=2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n+1-b_n=2a_n+3=4n+3，由疊加法得到數(shù)列{b_n}的通項公式，進一步得到

1

bn

=

1

n(2n+1)

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
驗證n=1，n=2，n=3滿足T_n＜

3

4

；當n≥4時放縮后利用裂項相消法求和后得答案．

解答： 解：（1）由Sn=nan-(n2-n)，得
Sn-1=(n-1)an-1-[(n-1)2-(n-1)]（n≥2），
兩式相減得：a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴{a_n}為以a₁=2為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（2）b_n+1-b_n=2a_n+3=4n+3，
疊加b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…（b_n-b_n-1）
=3+7+11+…（4n-1）=

n[3+(4n-1)]

2

=n(2n+1)（n≥2）．
經(jīng)檢驗b₁=3也符合，∴b_n=n（2n+1）
∴

1

bn

=

1

n(2n+1)

＜

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
當n=1時，Tn=

1

3

＜

3

4

；
當n=2時，Tn=

1

3

+

1

2×5

=

1

3

+

1

10

=

13

30

＜

3

4

；
當n=3時，Tn=

1

3

+

1

10

+

1

21

=

101

210

＜

3

4

；
當n≥4時，Tn=

1

3

+

1

2×5

+

1

3×7

+…

1

n(2n+1)

＜

1

3

+

1

10

+

1

21

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n

-

1

n+1

=

307

420

-

1

n+1

＜

3

4

．
綜上所述 Tn＜

3

4

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中高檔題．