Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=

1

2

BC=2，∠ABC=90°，△PAB是等邊三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求二面角P-CD-B的余弦值；
（2）求B到平面PDC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,二面角的平面角及求法

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)P作PH⊥AB，垂足為H，則PH⊥ABCD，過(guò)H作HE⊥DC交DC于E，交AD于F，證明∠PEH為二面角P-CD-B的平面角，即可求出二面角P-CD-B的余弦值；
（2）利用等體積，求B到平面PDC的距離．

解答： 解：（1）過(guò)P作PH⊥AB，垂足為H，則PH⊥ABCD，過(guò)H作HE⊥DC交DC于E，交AD于F，
則∠PEH為二面角P-CD-B的平面角．
∵△EDF為等腰直角三角形，AB=2⇒AH=1
∵∠BCD=45°⇒∠ADE=45°⇒∠EFD=∠AFH=45°
∴AH=AF=1，EF=DE=

2

2

∴HE=

2

+

2

2

=

3 2

2

，PH=

3

∴tan∠PEH=

3

3 2 2

=

6

3

∴cos∠PEH=

15

5

…（6分）
（2）∵DC=2

2

，PE2=(

3

)2+(

3 2

2

)2=

15

2

，PE=

30

2

，
∴VB-PDC=

1

3

S△PDC•h=

1

3

S△PDC•PH⇒h=

4 5

5

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角P-CD-B的余弦值，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運(yùn)用．