Question

9．已知O為坐標原點，雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$上有一點P，過點P作兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線的交點分別為A，B，若平行四邊形PAOB的面積為1，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{17}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，設P（m，n）是雙曲線上任一點，設過P平行于bx+y=0的直線為l，求得l的方程，聯立另一條漸近線可得交點A，|OA|，求得P到OA的距離，由平行四邊形的面積公式，化簡整理，解方程可得b，求得c，進而得到所求雙曲線的離心率．

解答 解：由雙曲線方程可得漸近線方程bx±y=0，
設P（m，n）是雙曲線上任一點，設過P平行于bx+y=0的直線為l，
則l的方程為：bx+y-bm-n=0，l與漸近線bx-y=0交點為A，
則A（$\frac{bm+n}{2}$，b•$\frac{bm+n}{2}$），|OA|=|$\frac{bm+n}{2}$|$\sqrt{1+^{2}}$，
P點到OA的距離是：d=$\frac{|bm-n|}{\sqrt{^{2}+1}}$，
∵|OA|•d=1，∴|$\frac{bm+n}{2}$||$\sqrt{1+^{2}}$•$\frac{|bm-n|}{\sqrt{^{2}+1}}$=1，
∴b=2，∴c=$\sqrt{5}$，
∴e=$\sqrt{5}$
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用漸近線方程和兩直線平行的條件：斜率相等，聯立方程求交點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．