Question

16．某電視臺推出一檔知識競賽節(jié)目，在第一環(huán)節(jié)比賽中，隨機抽取題目，答對加10分，答錯減10分，只有“正確”和“錯誤”兩種結(jié)果，已知甲選手每道題答對的概率為p=$\frac{2}{3}$，現(xiàn)記甲選手完成n道題后總得分為T_n．
（1）求T₄=20的概率；
（2）設(shè)X=|T₃|，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）T₄=20的情況是甲選手在四道中答對3道答錯1道，由此能求出T₄=20的概率．
（2）由已知得X的可能取值為10，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）T₄=20的情況是甲選手在四道中答對3道答錯1道，
∴T₄=20的概率p=${C}_{4}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（1-\frac{2}{3}）$=$\frac{32}{81}$．
（2）由已知得X的可能取值為10，30，
P（X=10）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$+${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{18}{27}$=$\frac{2}{3}$，
P（X=30）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}+{C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{9}{27}$=$\frac{1}{3}$，
∴X的分布列為：

X	10	30
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$

EX=10×$\frac{2}{3}+30×\frac{1}{3}$=$\frac{50}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率．