Question

3．已知函數(shù)f（x）滿足f（x-3）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用換元法求出函數(shù)f（x）的解析式即可；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）令z=x-3，則x=z+3，
∴f（z）=$\frac{z+3}{{（z+3）}^{2}+1}$，
∴f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+6x+10}$；
（2）f′（x）=-$\frac{（x+2）（x+4）}{{x}^{2}+6x+10}$，
令f′（x）＞0，解得：-4＜x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：x＞-2或x＜-4，
∴f（x）在（-∞，-4），（-2，+∞）遞減，在（-4，-2）遞增，
又∵f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+6x+10}$=$\frac{1+\frac{3}{x}}{x+6+\frac{10}{x}}$，
當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→0，
當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）→0，
∴函數(shù)f（x）的大致圖象如圖所示：
，
∴f（x）_最大值=f（x）_極大值=f（-2）=$\frac{1}{2}$，
f（x）_最小值=f（x）_極小值=f（-4）=-$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)f（x）的值域是：[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考察了函數(shù)的解析式問題，考察函數(shù)的值域問題，本題是一道中檔題．