【題目】如圖,AB是圓O的直徑,PA⊥圓O所在的平面,C是圓O上的點(diǎn).
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)若Q為PA的中點(diǎn),G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.
【答案】
(1)證明:AB是圓O的直徑,PA⊥圓所在的平面,可得PA⊥BC,
C是圓O上的點(diǎn),由直徑對的圓周角等于90°,可得BC⊥AC.
再由AC∩PA=A,利用直線和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC
(2)解:若Q為PA的中點(diǎn),G為△AOC的重心,連接OG并延長交AC于點(diǎn)M,
連接QM,則由重心的性質(zhì)可得M為AC的中點(diǎn).
故OM是△ABC的中位線,QM是△PAC的中位線,故有OM∥BC,QM∥PC.
而OM和QM是平面OQM內(nèi)的兩條相交直線,AC和BC是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線,故平面OQM∥平面PBC.
又QG平面OQM,∴QG∥平面PBC
【解析】(1)由PA⊥圓所在的平面,可得PA⊥BC,由直徑對的圓周角等于90°,可得BC⊥AC,根據(jù)直線和平面垂直的判定定理可得結(jié)論.(2)連接OG并延長交AC于點(diǎn)M,則由重心的性質(zhì)可得M為AC的中點(diǎn).利用三角形的中位線性質(zhì),證明OM∥BC,QM∥PC,可得平面OQM∥平面PBC,從而證明QG∥平面PBC
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京時間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量,獲得本場比賽勝利,最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格在.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.
(1)根據(jù)已知條件完成如圖列聯(lián)表,并據(jù)此資料判斷你是否有的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記所抽取的3名學(xué)生中的“圍棋迷”人數(shù)為.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列,期望和方差.
附:,其中.
0.05 | 0.010 | |
3.74 | 6.63 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知 =
(1)求角C的大小,
(2)若c=2,求使△ABC面積最大時a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)圖象的一個對稱中心是 .
(1)求φ;
(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中作出該函數(shù)在x∈[0,π]的圖象;
(3)求函數(shù)f(x)≥1(x∈R)的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,且其6個頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究患肺癌與是否吸煙有關(guān),做了一次相關(guān)調(diào)查,其中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但可以確定的是不吸煙人數(shù)與吸煙人數(shù)相同,吸煙患肺癌人數(shù)占吸煙總?cè)藬?shù)的;不吸煙的人數(shù)中,患肺癌與不患肺癌的比為.
(1)若吸煙不患肺癌的有人,現(xiàn)從患肺癌的人中用分層抽樣的方法抽取人,再從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查,求這兩人都是吸煙患肺癌的概率;
(2)若研究得到在犯錯誤概率不超過的前提下,認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān),則吸煙的人數(shù)至少有多少?
附: ,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將參加數(shù)學(xué)競賽的1000名學(xué)生編號如下:0001,0002,0003,…,1000,按系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取一個容量為50的樣本,如果在第一組抽得的編號是0015,則在第21組抽得的編號是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率.
(1)求a的值并估計在一個月(按30天算)內(nèi)日銷售量不低于105個的天數(shù);
(2)利用頻率分布直方圖估計每天銷售量的平均值及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的一個焦點(diǎn)與上、下頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形,以橢圓的長軸長為直徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過橢圓右焦點(diǎn)且不平行于軸的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn),探究在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值?若存在,試求出定值和點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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