Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x≥0}\\{x•lo{g}_{2}|x|，x＜0}\end{array}\right.$，則f（f（-$\frac{1}{2}$））=$\frac{13}{4}$，若f（x）=ax-1有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是a＞4．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)的表達(dá)式，直接代入進(jìn)行求解即可，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由分段函數(shù)的表達(dá)式得f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$•log₂$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²+3=$\frac{13}{4}$，
若f（x）=ax-1有三個(gè)零點(diǎn)，
則f（x）與y=ax-1有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=xlog₂（-x），
則f′（x）=log₂（-x）+x$•\frac{1}{-xln2}$•（-1）
=log₂（-x）+$\frac{1}{ln2}$=log₂（-x）+log₂e=log₂（-ex），
由f′（x）＞0得-ex＞1，即x＜-$\frac{1}{e}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得-ex＜1，即-$\frac{1}{e}$＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
若a≤0，則f（x）與直線(xiàn)y=ax-1只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
若a＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，直線(xiàn)y=ax-1與f（x）=xlog₂（-x）一定有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)x≥0時(shí)，當(dāng)直線(xiàn)和f（x）=x²+3相切時(shí)，
此時(shí)也有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，
由x²+3=ax-1，得x²-ax+4=0，則判別式△=a²-16=0，
得a＞4或a＜-4（舍），
當(dāng)直線(xiàn)和f（x）=x²+3相交時(shí)，即a＞4，此時(shí)有2個(gè)交點(diǎn)，
加上當(dāng)x＜0時(shí)的一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，
此時(shí)滿(mǎn)足條件，
綜上a＞4．
故答案為：$\frac{13}{4}$，a＞4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷以及分段函數(shù)的求值問(wèn)題，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．