Question

17．設函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一個奇函數(shù)，滿足f（2t+3）＜f（4-t），則a=1，t的取值范圍是（$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由條件根據(jù)奇函數(shù)的性質求得a的值，從而得到f（x）的解析式；由所給的不等式結合f（x）的圖象可得|2t+3|＜|4-t|，解此絕對值不等式，求得t的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-ax（x+2），x＞0}\end{array}\right.$是一個奇函數(shù)，設x＜0，則-x＞0，
且f（-x）=-f（x），即-a（-x）（-x+2）=-x（x-2），化簡可得ax（2-x）=x（2-x），∴a=1．
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x≤0}\\{-x（x+2），x＞0}\end{array}\right.$，故函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)，它的圖象如圖．
由f（2t+3）＜f（4-t），可得2t+3＞4-t，求得t＞$\frac{1}{3}$，
求得t∈（-7，$\frac{1}{3}$），
故答案為：1，（$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質，函數(shù)的單調性的應用，解絕對值不等式，體現(xiàn)了轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．