Question

已知y=f（x）是奇函數(shù)，它在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（x）＜0，問F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明結(jié)論．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=f（x）是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)且f（x）＜0，
∴在（-∞，0）上f（x）＞0，且單調(diào)遞減，
則F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，
則F（x₁）-F（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，且單調(diào)遞減，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）f（x₂）＞0，
則F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），
則F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．