Question

（10分）已知函數，設為的導數，
（1）求的值；
（2）證明：對任意，等式都成立.

Answer 1

(1)；（2）證明見解析.

試題分析：（1）本題首先考查復合函數的求導，如；
（2）要找到式子的規(guī)律，當然主要是找式子的規(guī)律，為了達到此目標，我們讓看看有什么特點，由（1），對這個式子兩邊求導可得，再求導，由引可歸納出，從上面過程還可看出應該用數學歸納法證明這個結論.
試題解析：（1）由已知，
，
所以，，
故.
（2）由（1）得，
兩邊求導可得，
類似可得，
下面我們用數學歸納法證明對一切都成立，
（1）時命題已經成立，
（2）假設時，命題成立，即，
對此式兩邊求導可得，
即，因此時命題也成立.
綜合（1）（2）等式對一切都成立.
令，得，
所以.
【考點】復合函數的導數，數學歸納法.