Question

已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)，），，⑴若，且函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705103515.png" style="vertical-align:middle;" />，求的表達(dá)式；
⑵設(shè)，且函數(shù)為偶函數(shù)，判斷是否大0？
⑶設(shè)，當(dāng)時，證明：對任意實(shí)數(shù)，(其中是的導(dǎo)函數(shù)) ．

Answer 1

（1），（2）成立，（3）證明略.

試題分析：（1）由于的表達(dá)式與有關(guān)，而確定的表達(dá)式只需求出待定系數(shù)，因此只要根據(jù)題目條件聯(lián)立關(guān)于的兩個關(guān)系即可；（2）由為偶函數(shù)可先確定，而可不妨假設(shè)，則，代入的表達(dá)式即可判斷的符號；（3）原不等式證明等價于證明“對任意實(shí)數(shù)，” 即等價于證明“ ”，可先證，再證.根據(jù)不等式性質(zhì)，可證得.
試題解析：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705072495.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705088447.png" style="vertical-align:middle;" />的值域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705103515.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以，所以，所以；
⑵因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705088447.png" style="vertical-align:middle;" />是偶函數(shù)，所以，又，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055706055504.png" style="vertical-align:middle;" />，不妨設(shè)，則，又，所以，此時，所以；
⑶因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705244393.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，又，則，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824055705213768.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，則原不等式證明等價于證明“對任意實(shí)數(shù)，” 即 .
先研究 ，再研究.
① 記，，令，得，當(dāng)，時，單增；當(dāng)，時，單減. 所以，，即.
② 記，，所以在,單減，所以，，即.
綜上①、②知，.
即原不等式得證，對任意實(shí)數(shù)，.