Question

13．定義在（-1，1）上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）．
（1）求當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并應(yīng)用函數(shù)f（x）的性質(zhì)求滿足f（1-m）+f（1-m²）＜0的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，0＜-x＜1，利用條件，可得當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，再求滿足f（1-m）+f（1-m²）＜0的實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，0＜-x＜1，
∵當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）．
∴f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-1）．
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-1）．
（2）當(dāng)0≤x＜1，a＞1時(shí)，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，g（x）=a^x-1單調(diào)遞增，∴當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）單調(diào)遞增．
同理0＜a＜1時(shí)，f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-1）單調(diào)遞增．
利用奇函數(shù)的對(duì)稱性，可得f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
∴f（1-m）＜f（m²-1），
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
∴1＜m＜$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．