Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），則數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前10項(xiàng)和為$\frac{1023}{1024}$．

Answer 1

分析 由a₁=2，且a_n+1-a_n=2ⁿ，利用“累加求和”方法可得a_n，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=2，且a_n+1-a_n=2ⁿ，
∴n≥2時(shí)，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+2=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+1=2ⁿ，當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴a_n=2ⁿ．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前10項(xiàng)和=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{10}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{1023}{1024}$．
故答案為：$\frac{1023}{1024}$．

點(diǎn)評 本題考查了“累加求和”方法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．