【題目】已知橢圓E:的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為,點A在橢圓E上,∠F1AF2=60°,△F1AF2的面積為4.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過原點O的兩條互相垂直的射線與橢圓E分別交于P,Q兩點,證明:點O到直線PQ的距離為定值,并求出這個定值.
【答案】(1)1;(2)證明見解析,.
【解析】
(1)由面積可得,再結(jié)合余弦定理可得與的關(guān)系式,由離心率再得一個關(guān)系式,可求得,得橢圓方程;
(2)射線的斜率不存在時,是橢圓頂點,求出方程后可得原點到它的距離,當斜率存在且不為零時,設(shè)直線PQ為:y=kx+m,P(x,y),Q(x1,y1),直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達定理得,并計算,再代入可得的關(guān)系,當然要注意,然后由這個關(guān)系可求得原點到直線的距離.
(1)由題意得 sin60°=4,∴=16,
再由余弦定理:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=(|PF1|+|PF2|)2﹣3|PF1||PF2|,
即:4c2=4a2﹣316,∴c2=a2﹣12,又離心率e,b2=a2﹣c2,∴a2=48,b2=12,
所以橢圓E的方程:1;
(2)證明:當射線的斜率不存在時,由橢圓的對稱性得,設(shè)P,Q分別是上頂點,右頂點,
則直線OQ為:,即x+2y﹣4,這時原點到直線PQ的距離d;
當斜率存在且不為零時,設(shè)直線PQ為:y=kx+m,P(x,y),Q(x1,y1),
與橢圓聯(lián)立得:(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣48=0,△=64k2m2﹣4(1+4k2)(4m2﹣48)>0,
即m2<48k2+12,x+x1=,xx1,yy1=k2xx1+km(x+x1)+m2,
由題意OP⊥OQ,∴0,∴xx1+yy1=0,∴5m2=48+48k2,
O到直線PQ的距離d,
綜上所述,可證明點O到直線PQ的距離為定值 .
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【題目】在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為.
(1)求的直角坐標方程;
(2)已知點,與交于點,與交于兩點,且,求的普通方程.
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【題目】如圖①,在等腰梯形中,分別為的中點 為中點,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體,在圖②中.
(1)證明:;
(2)求三棱錐的體積.
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【題目】如圖所示,在三棱錐中,與都是邊長為2的等邊三角形,、、、分別是棱、、、的中點.
(1)證明:四邊形為矩形;
(2)若平面平面,求點到平面的距離.
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【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A,B兩點,|AB|=4.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點F的直線l交拋物線于P,Q兩點,若△OPQ的面積為4,求直線l的斜率(其中O為坐標原點).
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【題目】已知橢圓:的離心率為,直線被圓截得的弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點的直線交橢圓于,兩點,在軸上是否存在定點,使得為定值?若存在,求出點的坐標和的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的右頂點為,左焦點為,離心率,過點的直線與橢圓交于另一個點,且點在軸上的射影恰好為點,若.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過圓上任意一點作圓的切線與橢圓交于,兩點,以為直徑的圓是否過定點,如過定點,求出該定點;若不過定點,請說明理由.
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【題目】如圖所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面,且底面是邊長為2的正三角形,AA1=3,點D,E,F,G分別是所在棱的中點.
(Ⅰ)證明:平面BEF∥平面DA1C1;
(Ⅱ)求三棱柱ABC﹣A1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分的體積.
附:臺體的體積,其中S和S′分別是上、下底面面積,h是臺體的高.
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【題目】某校學(xué)生會開展了一次關(guān)于“垃圾分類”問卷調(diào)查的實踐活動,組織部分學(xué)生干部在幾個大型小區(qū)隨機抽取了共50名居民進行問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)束后,學(xué)生會對問卷結(jié)果進行了統(tǒng)計,并將其中一個問題“是否知道垃圾分類方法(知道或不知道)”的調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計如下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人數(shù) | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并補全右圖所示的的頻率直方圖;
(2)在被調(diào)查的居民中,若從年齡在的居民中各隨機選取1人參加垃圾分類知識講座,求選中的兩人中僅有一人不知道垃圾分類方法的概率.
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