【題目】已知橢圓的右頂點為,左焦點為,離心率,過點的直線與橢圓交于另一個點,且點軸上的射影恰好為點,若

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過圓上任意一點作圓的切線與橢圓交于,兩點,以為直徑的圓是否過定點,如過定點,求出該定點;若不過定點,請說明理由.

【答案】(1);(2)以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點.

【解析】

1)先根據(jù)離心率得,,再根據(jù)點B在橢圓上得B點縱坐標(biāo),最后根據(jù)三角形面積公式解得,即得,(2)先考慮直線的斜率不存在情況,確定定點,再利用韋達定理以及向量數(shù)量積論證圓過坐標(biāo)原點.

(1)∵,,,

設(shè),代人橢圓方程得: ,

,

,

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,以為直徑的圓的圓心為,半徑為2,

為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:

因為兩圓都過坐標(biāo)原點,∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點,

當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,,

因為直線與圓相切,所以圓心到直線的距離,

,

所以,

化簡得:,

,,

∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點,

綜上,以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點.

練習(xí)冊系列答案
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附:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)橢圓的離心率為,圓軸正半軸交于點, 圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點,求證:為定值.

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)判斷下面兩個數(shù)列是否具有性質(zhì)L

1,3,5,79,

1,4,16,64,256,;

)若{an}是等差數(shù)列且具有性質(zhì)L,其前n項和Sn滿足Sn2n2+2nnN*),求數(shù)列{an}的公差d的取值范圍;

)若{an}是公比為正整數(shù)的等比數(shù)列且具有性質(zhì)L,設(shè)bnannN*),且數(shù)列{bn}不具有性質(zhì)L,求數(shù)列{an}的通項公式.

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