4.在邊長為2的正△ABC,已知$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BE}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$,則 $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0.

分析 由已知得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$,由此能求出答案.

解答 解:∵等邊三角形ABC的邊長為2,$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$,$\overrightarrow{BE}$=$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$,
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$,
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$,
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=($\overrightarrow{AB}$+$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$)(-$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$)=-|$\overrightarrow{AB}$|2+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\frac{4}{5}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{8}{15}$$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{AC}$
=-|$\overrightarrow{AB}$|2+$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos60°-$\frac{4}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AB}$|cos120°+$\frac{8}{15}$|$\overrightarrow{BC}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos60°
=-4+$\frac{2}{3}$×2×2×$\frac{1}{2}$+$\frac{4}{5}$×2×2×$\frac{1}{2}$+$\frac{8}{15}$×2×2×$\frac{1}{2}$
=-4+4
=0,
故答案為:0.

點評 本題考查向量數(shù)量積的求法,解題時要認真審題,注意平面向量加法法和向量數(shù)量積公式的合理運用,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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14.一個棱柱的直觀圖和三視圖(主視圖和俯視圖是邊長為a的正方形,左視圖是直角邊長為a的等腰三角形)如圖所示,其中M、N分別是AB、AC的中點,G是DF上的一動點.
(1)求證:GN⊥AC;
(2)試確定G點位置使得AG∥平面FMC;
(3)求三棱錐G-MCE的體積.

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15.某研究性學(xué)習(xí)小組對春季晝夜溫差大小與某花卉種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行研究,他們分別記錄了3月1日至3月5月的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如表資料:
日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日
晝夜溫差(.C)101113128
發(fā)芽數(shù)(顆)2325302616
(1)從3月1日至3月5日中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率
(2)請根據(jù)3月2日至3月4日的三組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所需要檢驗的數(shù)據(jù)誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試用3月1日與3月5日的兩組數(shù)據(jù)檢驗,問(2)中所得的線性回歸方程是否可靠?
(參考公式:$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^{i=n}{({{x_i}-\overline x})•({{y_i}-\overline y})}}}{{\sum_{i=1}^{i=n}{{{({{x_i}-\overline x})}^2}}}}$或$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$)

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12.設(shè)全集U=R,已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|$\frac{3}{x-1}$+1≥0},則集合A∩∁UB=( 。
A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}

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19.如圖,在四棱錐S-ABCD中,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,且底面ABCD是邊長為1的正方形,側(cè)棱SA=4,AC與BD相交于點O.
(1)證明:SO⊥BD;
(2)求三棱錐O-SCD的體積.

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9.某火鍋店為了了解氣溫對營業(yè)額的影響,隨機記錄了該店1月份中5天的日營業(yè)額y(單位:千元)與該地當日最低氣溫x(單位:℃)的數(shù)據(jù),如表:
x258911
y1210887
(Ⅰ)求y關(guān)于x的回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$
(Ⅱ)判定y與x之間是正相關(guān)還是負相關(guān);若該地1月份某天的最低氣溫為6℃,用所求回歸方程預(yù)測該店當日的營業(yè)額
附:回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$中,$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$,$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-b$\overline{x}$.

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16.若cos(${\frac{π}{6}$-α)=$\frac{1}{3}$,則cos($\frac{2π}{3}$+2α)=( 。
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13.春夏季節(jié)是流感多發(fā)期,某地醫(yī)院近30天每天入院治療的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an},已知a1=1,a2=2,且滿足an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),則該醫(yī)院30天入院治療流感的人數(shù)共有255人.

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(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+$\sqrt{3}$cos2x,且g($\frac{α}{2}$)=$\frac{2}{3}$,0<α<π,求g($\frac{π}{4}$+$\frac{α}{2}$)的值.

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