Question

19．如圖，在四棱錐S-ABCD中，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱SA=4，AC與BD相交于點(diǎn)O．
（1）證明：SO⊥BD；
（2）求三棱錐O-SCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥平面ABCD可得SA⊥BD，又AC⊥BD，故BD⊥平面SAC，于是BD⊥SO；
（2）V_O-SCD=V_S-OCD=$\frac{1}{3}{S}_{△OCD}•SA$．

解答 證明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又SA?平面SAC，AC?平面SAC，SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC，∵SO?平面SAC，
∴SO⊥BD．
（2）∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，
∴S_△OCD=$\frac{1}{4}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{4}×{1}^{2}$=$\frac{1}{4}$．
∴V_O-SCD=V_S-OCD=$\frac{1}{3}{S}_{△OCD}•SA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×4$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．