Question

15．曲線C：f（x）=x³-2ax+4a，若過曲線C外一點A（2，0）引曲線C的兩條切線，它們的傾斜角互補，則a的值為（　�。�

• A． $\frac{27}{4}$
• B． -$\frac{27}{4}$
• C． $\frac{27}{8}$
• D． -$\frac{27}{8}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，設出切點，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線方程，代入（2，0），可得切點和切線的斜率，再由傾斜角互補可得斜率之和為0，解得a的值．

解答 解：f（x）=x³-2ax+4a的導數(shù)為f′（x）=3x²-2a，
設切點為（m，n），即有切線的斜率為k=3m²-2a，
可得切線的方程為y-（m³-2am+4a）=（3m²-2a）（x-m），
代入（2，0），可得-m³+2am-4a=（3m²-2a）（2-m），
解得m=0或3，
則切線的斜率為-2a，27-2a，
由它們的傾斜角互補，可得斜率之和為0，
可得27-4a=0，解得a=$\frac{27}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和運用直線方程是解題的關鍵，屬于中檔題．