Question

10．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率e=$\sqrt{2}$，且它的一個頂點到較近焦點的距離為$\sqrt{2}$-1，則雙曲線C的方程為x²-y²=1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的幾何性質(zhì)分析可得

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\sqrt{2}$，
則有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=2，
即a²=b²，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
又由它的一個頂點到較近焦點的距離為$\sqrt{2}$-1，
則有c-a=$\sqrt{2}$-1，即$\sqrt{2}$a-a=$\sqrt{2}$-1，
解可得a=1，
則b=1，
則雙曲線的方程為：x²-y²=1；
故答案為：x²-y²=1．

點評 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用雙曲線的幾何性質(zhì)構(gòu)造方程組．