Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=x²-4x+b的最小值是0，不等式f（x）＜4的解集為A．
（1）求集合A；
（2）設(shè)集合B={x||x-2|＜a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)f（x）=x²-4x+b的最小值是0，得b=4，由此利用不等式f（x）＜4的解集為A，能求出集合A．
（2）當(dāng)a≤0時，集合B=∅?A符合題意，當(dāng)a＞0時，集合B={x|2-a＜x＜2+a}，由此利用集合B是集合A的子集，列出不等式組，能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-4x+b的最小值是0，
∴$\frac{4×1×b-16}{4×1}$=0，解得b=4，
∵不等式f（x）＜4的解集為A，
∴解不等式x²-4x+4＜4，得A={x|0＜x＜4}．
（2）當(dāng)a≤0時，集合B=∅?A符合題意，
當(dāng)a＞0時，集合B={x|2-a＜x＜2+a}，
∵集合B是集合A的子集，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-a≥0}\\{2+a≤4}\end{array}\right.$，解得0＜a≤2，
綜上：a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查集合的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查二次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式、子集等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．