Question

6．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1），若數(shù)列：2，f（a₁），f（a₂）…f（a_n），2n+4（n∈N⁺）成等差數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（2）若0＜a＜1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的表達(dá)式
（3）若a=2，令b_n=a_n•f（a_n），對(duì)任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得公差為2，即可得出所求通項(xiàng)；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求；
（3）利用數(shù)列的單調(diào)性，求得b_n的最小值，由不等式恒成立思想，結(jié)合反函數(shù)知識(shí)，即可得出t的范圍．

解答 解：（1）設(shè)公差為d，
由2n+4=2+（n+2-1）d，
解得d=2，
∴f（a_n）=2+（n+1-1）•2=2n+2，
由函數(shù)f（x）=log_ax，
可得log_aa_n=2n+2，
∴a_n=a²ⁿ⁺²．
（2）數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為a⁴，公比為a²，
則S_n=$\frac{{a}^{4}（1-{a}^{2n}）}{1-{a}^{2}}$；
（3）b_n=a_n•f（a_n）=（2n+2）a²ⁿ⁺²=（n+1）•2²ⁿ⁺³，
$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{2n+5}}{（n+1）•{2}^{2n+3}}$=$\frac{n+2}{n+1}$•4＞1，
∴{b_n}為遞增數(shù)列．
即有b_n中的最小項(xiàng)為b₁=2•2⁵=2⁶，
由任意n∈N^*，都有b_n＞f^-1（t），
可得f^-1（t）＜2⁶，
又f^-1（t）=2^t，
∴t＜6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．