Question

2．如圖，在多面體ABCDEF中，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，AD⊥CD，AB=AD=1，CD=2，M、N分別為EC和BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直線MN與平面BMC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥BD，BC⊥DE，即可證明BC⊥平面BDE；
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面BMC的法向量，即可求直線MN與平面BMC所成的角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，取CD中點(diǎn)H，連接BH，因?yàn)锳D=AB，AB∥CD，AD⊥CD，
所以四邊形ADHB為正方形，
又BD²=AD²+AB²=2，BC²=HC²+HB²=2，
所以CD²=BD²+BC²，所以BC⊥BD…（2分）
又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，DE⊥AD，
所以DE⊥平面ABCD，…（4分）
所以BC⊥DE，
又BD∩DE=D，故BC⊥平面BDE．…（5分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知CD⊥平面ABCD，AD⊥CD，所以DE，DA，DC兩兩垂直．
以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角坐標(biāo)系D-xyz，則C（0，2，0），B（1，1，0），E（0，0，1），$M（0，1，\frac{1}{2}）$，$N（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{MC}=（0，1，-\frac{1}{2}）$…（7分）
設(shè)$\overrightarrow n=（x，y，z）$為平面BMC的法向量，則$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{MC}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y-\frac{1}{2}z=0}\end{array}}\right.$
可取$\overrightarrow n=（1，1，2）$，…（9分）
又$\overrightarrow{MN}=（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$，所以$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{MN}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{MN}}}{{\overrightarrow{|n}||\overrightarrow{MN}|}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（11分）
直線MN與平面BMC所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成的角，空間向量的運(yùn)算，考查空間想象能力，計(jì)算能力以及邏輯推理能力．