Question

14．教師節(jié)到了，為豐富節(jié)目生活，學(xué)校組織教師歌唱比賽，通過(guò)海選共6名教師進(jìn)入決賽，其中兩名男教師四名女教師，比賽通過(guò)隨機(jī)抽簽的方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序．
（1）求兩名男教師恰好在前兩位出場(chǎng)的概率；
（2）若比賽中兩位男教師之間的女教師的人數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）確定甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的事件數(shù)，求出基本事件總數(shù)，利用古典概型的概率公式可求；
（2）確定隨機(jī)變量的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）設(shè)“兩名男教師恰好在前兩位出場(chǎng)”為事件A，則P（A）=$\frac{{A}_{2}^{2}{A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{15}$．
所以兩名男教師恰好在前兩位出場(chǎng)的概率為$\frac{1}{15}$…（4分）
（2）隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3，4．
P（X=0）=$\frac{{A}_{2}^{2}{A}_{5}^{5}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{3}$，P（X=1）=$\frac{4{A}_{2}^{2}{A}_{4}^{4}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{4}{15}$，P（X=2）=$\frac{{A}_{4}^{2}{A}_{2}^{2}{A}_{3}^{3}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{A}_{4}^{3}{A}_{2}^{2}{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{2}{15}$，P（X=4）=$\frac{{A}_{4}^{4}{A}_{2}^{2}}{{A}_{6}^{6}}$=$\frac{1}{15}$…（10分）
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

因此EX=0×$\frac{1}{3}$+1×$\frac{4}{15}$+2×$\frac{1}{5}$+3×$\frac{2}{15}$+4×$\frac{1}{15}$=$\frac{4}{3}$，
即隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為$\frac{4}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．