【題目】已知f(x)=xlnx,g(x)= ,直線l:y=(k﹣3)x﹣k+2
(1)函數(shù)f(x)在x=e處的切線與直線l平行,求實(shí)數(shù)k的值
(2)若至少存在一個(gè)x0∈[1,e]使f(x0)<g(x0)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍
(3)設(shè)k∈Z,當(dāng)x>1時(shí)f(x)的圖象恒在直線l的上方,求k的最大值.

【答案】
(1)解:∵f′(x)=1+lnx,

∴f′(e)=1+lne=k﹣3

∴k=5


(2)解:由于存在x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0),

ax02>x0lnx0,

∴a>

設(shè)h(x)=

則h′(x)= ,

當(dāng)x∈[1,e]時(shí),h′(x)≥0(僅當(dāng)x=e時(shí)取等號(hào))

∴h(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,

∴h(x)min=h(1)=0,因此a>0


(3)解:由題意xlnx>(k﹣3)x﹣k+2在x>1時(shí)恒成立

即k<

設(shè)F(x)= ,

∴F′(x)= ,

令m(x)=x﹣lnx﹣2,則m′(x)=1﹣ = >0在x>1時(shí)恒成立

所以m(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且m(3)=1﹣ln3<0,m(4)=2﹣ln4>0,

所以在(1,+∞)上存在唯一實(shí)數(shù)x0(x0∈(3,4))使m(x)=0

當(dāng)1<x<x0時(shí)m(x)<0即F′(x)<0,

當(dāng)x><x0時(shí)m(x)>0即F′(x)>0,

所以F(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,

F(x)min=F(x0)= = =x0+2∈(5,6)

故k<x0+2又k∈Z,所以k的最大值為5


【解析】(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于k的方程解得即可.(2)由于存在x0∈[1,e],使f(x0)<g(x0),則kx0>2lnx0a> ,只需要k大于h(x)= 的最小值即可.(3)分離參數(shù),得到k< ,構(gòu)造函數(shù),求函數(shù)的最小值即可.

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